Singular Cohomology - Differentiable case

秋の空がキレイだ。夕日が沈む山の向こうに吸い込まれて行く羊雲がなんか羨ましい。 Iterated logarithm の計算にうんうんと悩まされ、何とか計算が出来て、欲しい評価を得ることが出来た。でも、Williams の文脈では、"あまり細かいことは気にせずに、この関数の挙動はだいたいコレくらいでしょう ? " という感じにも見えるので、ムキになって計算する必要も無かったのかもしれないのだけれども、気になりだしたら止まらないのがオレの損な性格だなぁ。小さい頃からよく言われたもんだ。「あんた、いい加減諦めなよ」ってね。 　さて、singular cohomology theorey が differentiable な場合にも構成できるかを議論してからコホモロジー週間に幕を下ろそう。

　問題になるのは、singular (p-1) simplex σ in U に対して前に定義した ^˜h(σ) : Δ^p → U は continuous であり、ゆえに singular p-simplex in U であったけれど、これは原点における differentiability の問題から一般には differentiable singular p-simplex in U にはなれないことであった。この問題を解消して改めて ^˜h(σ) が C^∞ になるように定義するノダ。

　Real line 上の [0, 1]-valued C^∞ function φ(t) で、t ≥ 1 上では値 1, t ≤ 0 上では値 0 をとり、t→+0 とするとき、どんな多項式よりも早く 0 に収束するものをとる( たとえば partition of unity を構成するときにあらかじめ用意したヤツね )。このとき ^˜h(σ) : Δ^p → U を、原点はやはり原点に、( a₁ ,・・・,a_p ) ≠ 0 に対しては
^˜h(σ)( a₁ ,・・・,a_p ) := φ(∑_1≤i≤pa_i)σ( ^a₂/_{∑1≤i≤pai},・・・,^a_p/_{∑1≤i≤pai})
で定義する。これが原点において differentiable か、ということが問題である。これにはまず、σ を R^p-1 上に拡張する。例えばσ は differentiable であるから、Δ^p-1 を含む σ の定義域と Δ^p-1 の補集合からなる R^p-1 の open covering に従属する partition of unity を考えればいい。この拡張された σ は 元の σ と Δ^p-1 上では一致する。さらに、Δ^p-1 から少し離れたところからは 0 を取るから σ とその derivatives は全て有界である。今、^˜h(σ) は R^p 上で定義される( もちろん ∑a_i = 0 となる点は原点に対応させる )。φ(t) とその全ての derivatives は t → 0 とするとどんな多項式よりも早く 0 に収束し、σ とその derivatives は有界であるから ^˜h(σ) の全ての dervatives は存在し、連続であり、∑a_i = 0 となる点では全て 0 を取る。したがって ^˜h(σ) は differentiable となる。

　Homotopy operator を同じように定義すれば constant sheaf K の fine torsionless resolution

0 → K → S_∞⁰(M, K) → S_∞¹(M, K) → S_∞²(M, K) → ・・・
を得る。さらに inclusion S_∞^p(M, K) → S^p(M, K) は自然に singular cohomolgy theories の同型を導く。

　本当は singular cohomology の難しいところは、実はこの先にあるのだけれども、ここでは割愛。